La regla de la cadena

Fíjate en esta función: tres equis al cuadrado más uno, todo elevado a la quinta. Podrías desarrollar la potencia, pero sería una cuenta interminable. La clave está dentro del paréntesis: hay una función metida dentro de otra. Con seno de equis al cuadrado pasa igual. No hay fórmula directa, pero sí una regla para estos casos. Piensa en tres engranajes conectados: equis, u y la i griega. El engranaje u gira dos veces más rápido que equis: su ritmo de cambio respecto de equis es dos. Y la i griega gira tres veces más rápido que u. Así que, respecto de equis, la i griega gira dos por tres, seis veces más rápido. En notación de Leibniz: los ritmos de cambio se multiplican. Esta es la regla de la cadena. Para derivar efe de ge de equis, derivo la externa, efe, y la evalúo en ge de equis, sin tocar lo de dentro. Después multiplico por la derivada de la interna, ge prima de equis. Ese factor resaltado es el que más se olvida. Volvamos a la potencia del principio. La externa es u a la quinta, y la interna, tres equis al cuadrado más uno. Derivo la externa: cinco por el paréntesis a la cuarta, con el paréntesis intacto. Y multiplico por la derivada de dentro, seis equis. Agrupo constantes: cinco por seis, treinta. Queda treinta equis por el paréntesis a la cuarta. Comprobemos que este factor no es un capricho del álgebra. Esta es la gráfica de seno de equis al cuadrado, que oscila cada vez más deprisa al alejarse del origen. Tomamos el punto de abscisa uno y trazamos su tangente. Su pendiente es dos por coseno de uno, cerca de uno coma cero ocho. Sin el factor dos equis saldría la mitad, y la recta no encajaría con la curva. Aquí está el error típico. La derivada de seno de dos equis no es coseno de dos equis: es dos por coseno de dos equis. Ese dos es la derivada de la interna, justo el que se pierde. Y ojo: seno cuadrado de equis no es seno de equis al cuadrado, porque cambian la externa y la interna. Subamos un nivel: el número e elevado a seno de tres equis. Hay tres capas: la exponencial, el seno y, en el centro, tres equis. Derivamos de fuera hacia dentro, un factor por capa: la exponencial se queda igual, el seno da coseno de tres equis y tres equis aporta un tres. No te pares en la segunda capa. Ordenando, con la constante delante: tres por coseno de tres equis por e elevado a seno de tres equis. Te toca: deriva el logaritmo neperiano de equis al cuadrado más cuatro. Pausa el vídeo si quieres intentarlo. La externa es el logaritmo, y la interna, equis al cuadrado más cuatro. El logaritmo da uno partido por lo de dentro, y multiplicamos por la derivada interna, dos equis, que es lo que suele olvidarse. Resultado: dos equis partido por equis al cuadrado más cuatro. Con tres funciones encadenadas, la regla se alarga sola: un factor por cada capa, de fuera hacia dentro. Derivo la externa, respeto lo de dentro y multiplico por la derivada de dentro. Practica con raíz de uno menos equis al cuadrado, coseno al cubo de equis y e elevado a menos equis al cuadrado. Una capa, un factor.